सिद्ध कीजिए कि $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = 1$ है।

(N/A) समाकल $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (Integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं।
खंडशः समाकलन का सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ है।
मान लीजिए $u = x$ और $dv = e^{x} dx$ है।
तब,$du = dx$ और $v = \int e^{x} dx = e^{x}$ प्राप्त होता है।
सूत्र लागू करने पर:
$\int x e^{x} dx = x e^{x} - \int e^{x} dx = x e^{x} - e^{x} = e^{x}(x - 1)$.
अब,$0$ से $1$ तक की सीमाएं (limits) लागू करने पर:
$\int_{0}^{1} x e^{x} dx = [e^{x}(x - 1)]_{0}^{1}$.
ऊपरी सीमा $(x = 1)$ पर मान:
$e^{1}(1 - 1) = e(0) = 0$.
निचली सीमा $(x = 0)$ पर मान:
$e^{0}(0 - 1) = 1(-1) = -1$.
ऊपरी सीमा के मान से निचली सीमा का मान घटाने पर:
$0 - (-1) = 1$.
अतः,$\int_{0}^{1} x e^{x} dx = 1$ सिद्ध होता है।